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虹の原理（3）

　「虹　その文化と科学」（西條敏美　恒星社厚生閣）に、その原理についての解説があったので、紹介したい。計算・グラフ化はエクセルを活用した。

　雨粒の半径をＲ、入射光線と雨粒の中心を通る軸との距離をｘ、入射角ｉ、屈折角ｒ、屈折率ｎとする。


角θは図より（是非確認してみてください）
　θ＝４ｒ−２ｉ　　　　　　　　　　　･･･(1)
スネルの法則より
　sin(ｉ)＝ｘ／Ｒ　　　　　　　　　　･･･(2)
　sin(ｒ)＝sin(ｉ)／ｎ＝ｘ／(Ｒ・ｎ)　･･･(3)
逆関数を取ると、
　ｉ＝arcsin(ｘ／Ｒ)　　　　　　　　　･･･(4)
　ｒ＝arcsin(ｘ／(Ｒ・ｎ))　　　　　　･･･(5)

式(4)(5)を式(1)に代入すると、θが求まる。

θ＝４arcsin(ｘ／(Ｒ・ｎ))−２arcsin(ｘ／Ｒ)　･･･(6)

エクセルで、ｎ＝1.33(赤色の屈折率)、ｘ／Ｒは0.01刻み（０から１）の値を次式に代入し、θを求め、グラフ化した。

θ＝ROUND(4*DEGREES(ASIN([ｘ／Ｒの数値セル]/1.33))−2*DEGREES(ASIN([ｘ／Ｒの数値セル])),2)　　　･･･(7)


　グラフは、横軸がｘ／Ｒ 、縦軸がθである。ｘ／Ｒ＝0.86 付近でθが最大(42.51°)であり、θ＝42° 付近の光が他に比べて多くなっている。

　太陽光等の平行光線は、水滴に衝突すると42°付近で収束（光が集まる）する。この収束の角度は、光の波長により少しずつ異なり、このことにより虹が見えるというわけだ。 　

（2005/6/12、TAKA）

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